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マルチェンコ・パスツール分布

マルチェンコ・パスツール分布は，行列次元 ，自由度 （どちらも の割合で無限大になる傾向がある）のウィシャート行列の固有値の極限分布である．については，分布は質点を持たず，確率密度関数は明確に定義される．

In[1]:=

PDF[MarchenkoPasturDistribution[1/2], x]

Out[1]=

In[2]:=

Plot[PDF[MarchenkoPasturDistribution[1/2], x], {x, 0, 3}, PlotRange -> All, Exclusions -> None, Filling -> Axis, PlotTheme -> "Detailed", ImageSize -> Medium, PlotLegends -> None]

Out[2]=

恒等尺度行列のあるウィシャート分布からサンプルを取り，スケールされた固有値を計算する．

In[3]:=

n = 10^4; m = 10^3; eigs = RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]/n, x \[Distributed] WishartMatrixDistribution[n, IdentityMatrix[m]]]];

サンプルとして取られた結果をマルチェンコ・パスツール密度関数と比較する．

In[4]:=

Show[Histogram[eigs, {0.05}, "PDF", ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[MarchenkoPasturDistribution[m/n], x], {x, 0, 1.8}, PlotTheme -> "Detailed", PlotLegends -> None, Exclusions -> None]]

Out[4]=

については，ウィシャート行列は特異行列である．確率 のとき，分布は で質点を持つ．

In[5]:=

m = 500; n = 2 m; CDF[MarchenkoPasturDistribution[n/m], 0]

Out[5]=

恒等共分散を持つ特異ウィシャート行列を生成し，スケールされた固有値を計算する．

In[6]:=

matrix = Transpose[#].# &[RandomVariate[NormalDistribution[], {m, n}]]; eigvs = Chop[Eigenvalues[matrix]/m];

0付近で固有値の密度にギャップがあり，0のビンで密度が高くなっている．

In[7]:=

Histogram[eigvs, {0.05}, PDF, PlotRange -> 1, ChartStyle -> Orange, ImageSize -> Medium]

Out[7]=

MarchenkoPasturDistributionを固有値にフィットする．

In[8]:=

edist = EstimatedDistribution[eigvs, MarchenkoPasturDistribution[\[Lambda], 1]]

Out[8]=

フィットされた分布の累積分布関数は，原点に不連続なジャンプがある．

In[9]:=

Show[Histogram[eigvs, {0.05}, CDF, ChartStyle -> Orange], Quiet@Plot[CDF[edist, x], {x, -1.5, 5.75}, Exclusions -> None, PlotStyle -> Thick], ImageSize -> Medium, AxesOrigin -> {-1, 0}, PlotRange -> {{-1.5, 6}, {0, 1}}]

Out[9]=