Волны в Большом Соленом озере
Using ImageMesh, позволяет преобразовать сегменты изображения в граничные сетчатые области . Cетчатые области позволяют использовать функции сразу для нескольких областей, например, методом конечных элементов (МКЭ).
В качестве иллюстрации применения метода конечных элементов, определим основные виды поверхностных волн в Большом Соленом озере в штате Юта.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_95.png)
img = EntityValue[Entity["Lake", "GreatSaltLake::yw8cf"], "Image"]
![](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/O_44.png)
Упорядочим изображение с помощью среднесменного фильтра.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_96.png)
img2 = MeanShiftFilter[img, 3, 0.1]
![](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/O_45.png)
Выделим сегмент формы озера.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_97.png)
mask = RegionBinarize[img2, \!\(\*
GraphicsBox[
TagBox[RasterBox[CompressedData["
1:eJzt1jEKwkAQQNFdK0uv4C1sLW0VD6AYxSZCFMRzCJ7XiF3SzFb7lf8ggUCK
D8MmM99f1sdJSuk67W/r3X3ZdbvHZtY/bNvr+dQ2h1V7a05Nt9h/Xnv21ytJ
kiRJkiRJkn5H7tVuGLMqzqo4q+KsiuNW8bKsimNWfbNwXVbF5Yzuqp0xZFUB
dBaui5kF/T5AsxJ1jNAsq0qgs3BlOSPDMrMLmvUBDcNnsbqov2x4FrWrdscA
NIu6SjCzoEOEZlGniF5Ta0eMmVXCqjjmCJlV5KzaDWNWxXGreFnMKvAIazeM
MUfIXEmtKsCs8hSWsCrOqjhmlSRJkiRJkvS/3tRrD1M=
"], {{0, 147}, {150,
0}}, {0, 1},
ColorFunction->GrayLevel],
BoxForm`ImageTag["Bit", ColorSpace -> Automatic, Interleaving -> None],
Selectable->False],
DefaultBaseStyle->"ImageGraphics",
ImageSizeRaw->{150, 147},
PlotRange->{{0, 150}, {0, 147}}]\), 1/5]
![](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/O_46.png)
Извлечем объект поверхности озера типа граничной сетчатой области.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_98.png)
\[ScriptCapitalR] = ImageMesh[mask]
![](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/O_47.png)
Создадим сетку поверхности озера.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_99.png)
\[CapitalOmega] =
TriangulateMesh[\[ScriptCapitalR], MaxCellMeasure -> 8]
![](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/O_48.png)
Для решения волнового уравнения поверхности озера, сначала определим собственные функции лапласиана внутри региона озера.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_100.png)
\[ScriptCapitalL] = -\!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\), \(2\)]\(\[CurlyPhi][x,
y]\)\);
Будем использовать граничное условие.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_101.png)
\[ScriptCapitalB] = DirichletCondition[\[CurlyPhi][x, y] == 0, True];
Создадим ортонормированную базу из собственных функций Φ с собственными значениями Λ.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_102.png)
{\[CapitalLambda], \[CapitalPhi]} =
NDEigensystem[{\[ScriptCapitalL], \[ScriptCapitalB]}, \[CurlyPhi][x,
y], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], 64];
Отобразим первые шесть режимов колебаний волн.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_103.png)
GraphicsGrid[
Partition[
Table[ContourPlot[\[CapitalPhi][[
k]], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], PlotRange -> All,
PlotLabel -> \[CapitalLambda][[k]], PlotTheme -> "Minimal"], {k,
6}],
3
],
ImageSize -> 512
]
![](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/O_49.png)
Временные изменения в модах колебаний задаются следующим образом.
![Click for copyable input](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/In_104.png)
\[CapitalTheta][\[Lambda]_, \[Xi]_, t_] = FullSimplify[
DSolveValue[Join[{ \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t,
t\)]\(\(TraditionalForm\`\[CurlyTheta]\)[
t]\)\) + \[Xi] \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\(TraditionalForm\`\
\[CurlyTheta]\)[
t]\)\) == -\[Lambda] \!\(TraditionalForm\`\[CurlyTheta]\)[
t] }, {\!\(TraditionalForm\`\[CurlyTheta]\)[0] ==
1, \[CurlyTheta]'[0] ==
0} ], \!\(TraditionalForm\`\[CurlyTheta]\)[t], t],
{\[Lambda] > 0, \[Xi] > 0, \[Xi]^2 < 4 \[Lambda], t \[Element] Reals}
]
![](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/O_50.png)
Анализ начального колебания и их дальнейшей динамики с помощью собственных функций позволяет моделировать движение волн на поверхности озера.
![](assets.ru/waves-in-the-great-salt-lake/swf_8.png)