Optimierte Fachwerksplanung
Entwerfen Sie ein Fachwerk mit minimaler Last, das an einem Ende an der Wand verankert ist und am anderen Ende einer Belastung standhalten muss.
Dieses Beispiel zeigt, wie viele Funktionen der Wolfram Language zusammen verwendet werden können, um eine symbolische Form eines linearen Optimierungsproblems zu bilden, das durch LinearOptimization effizient gelöst werden kann.
Wählen Sie einige spezifische Positionen, an denen das Fachwerk an der Wand verankert ist.
Die Position, an der die Last aufgebracht wird, befindet sich am Ende des Tragwerks.
Das Tragwerk kann durch Verbindungen und Knotenpunkt modelliert werden. Jeder Knotenpunkt ist über eine Verbindung mit einem benachbarten Knoten verbunden. Ein mögliches Verbindungsmuster ist hier angegeben.
Die Kandidatenknoten werden in einem rechteckigen Gitter platziert.
Visualisieren Sie die Knotenpositionen, die Ankerpunktpositionen, die Position, an der die Last aufgebracht wird, und die Verbindung eines einzelnen Knotenpunkts in der Mitte des Tragwerks.
Jedem Knotenpunkt ist einem eindeutigen Index zugeordnet. Die Association liefert eine schnelle Nachschlagetabelle.
Ermitteln Sie die Indizes, die mit Anker- und Kraftpunkten verknüpft sind.
Konstruieren Sie eine Funktion, die die Verbindung eines beliebigen Gitterpunktes für ein bestimmtes Konnektivitätsmuster liefert.
Verwenden Sie für einen bestimmten Knotenpunkt die Konnektivität, um um zu bestimmen, welche Verbindungen diesen Knoten enthalten. Wenn die Knoten
und
verbunden sind, dann stellen
und
dieselbe Verbindung dar. Um Wiederholungen zu vermeiden, sollten Sie nur die Verbindung mit
berücksichtigen.
Beschreiben Sie die Menge der Verbindungen durch ℒ, sodass wenn Knoten und Knoten
eine Verbindung bilden, dann
.
Angenommen, die Dicke einer Verbindung und damit die Masse pro Längeneinheit muss proportional zur Kraft sein, die auf diese Verbindung ausgeübt wird. Eine bequeme Möglichkeit, die Verbindung ℒ zu beschreiben, besteht darin, eine Indexierung der Links durchzuführen, so dass es für jedes verbundene Paar einen eindeutigen Index
mit
gibt.
Das Ziel ist es, zu minimieren, wobei
die Länge der Verbindung zwischen den Knoten
und
mit Index
ist und
die Kraft ist, die von der Verbindung auf ihre Endgelenke ausgeübt wird.
Die Funktion ist nichtlinear, kann aber als lineare Funktion ausgedrückt werden, indem
und
festgelegt werden, dass
und
. Die Zielfunktion ist
.
An keinem Knoten außer dem Kraftpunkt werden externe Kräfte angewendet.
Am Kraftpunkt wird eine vertikale Einheitskraft nach unten aufgebracht.
An jedem nicht verankernden Knoten muss ein Kraftausgleich vorhanden sein
, wobei
die Position des Knotens
und
die externe Kraft am Knoten
ist. Definieren Sie eine Funktion, die die Kraftausgleichsbeschränkung für Knoten
ist.
Verwenden Sie Complement, um die Ankerknoten nicht einzubeziehen.
Die letzten Einschränkungen sind:
Lösen Sie das resultierende System.
Visualisieren Sie das optimierte Tragwerk. Verwenden Sie Blautöne, die die Spannung der Verbindungen darstellen und Rottöne, die die Ausdehnung anzeigen.