Para resolver el problema primero encontramos la altura y ancho del triángulo inscrito.

Para calcular la medida de $\mathrm{\angle OBA}$, trazamos una línea perpendicular desde el centro hasta la cuerda $\mathrm{AB}$, la cual biseca la cuerda.



Altura del triángulo $\mathrm{△OBA}$ $=$ radio $⨯$ $\mathrm{sen}\left(\mathrm{\angle OBA}\right)$

$\frac{\mathrm{AB}}{2}$ o la mitad del ancho de la base del triángulo $\mathrm{△OBA}$ $=$ radio $⨯$ $\cos \left(\mathrm{\angle OBA}\right)$

La medida de $\mathrm{\angle OBA}$ se calcula como $180-\left(90+\frac{90}{2}\right)$ grados. Un ángulo es de $90$ grados porque la línea perpendicular desde el centro hasta la cuerda $\mathrm{AB}$ también biseca $\mathrm{\angle AOB}$.

La altura del triángulo es $2\mathrm{sen}\left(180-\left(90+\frac{90}{2}\right)\right)=\sqrt{2}$.

La mitad del ancho del triángulo es $2\cos \left(180-\left(90+\frac{90}{2}\right)\right)=\sqrt{2}$.

Por lo tanto, el ancho completo del triángulo es $2⨯\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Ahora calculamos el área del triángulo $\mathrm{△OBA}$, dada por el Área $=$ $\frac{1}{2}$ $⨯$ base $⨯$ altura.

Sustituyendo los valores:

Área del triángulo $\mathrm{△OBA}$ $=$ $\frac{1}{2}⨯\left(2\sqrt{2}\right)⨯\sqrt{2}=2$

El área del sector circular subtendido por el ángulo menor $\mathrm{\angle AOB}$ es $\frac{90}{360}⨯\left(\pi 2^2\right)=\pi$.

El área sombreada se obtiene restando el área del triángulo $\mathrm{△OBA}$ del área del sector circular subtendido por el ángulo menor $\mathrm{\angle AOB}$.

Área de la región sombreada $=$ $\pi -2=1.14$ (redondeado a la centésima más cercana)