Pour résoudre le problème, nous trouvons d’abord la hauteur et la largeur du triangle inscrit.

Pour calculer la mesure de l'angle $\mathrm{\angle OBA}$, nous traçons une droite perpendiculaire partant du centre et allant à la corde $\mathrm{AB}$, coupant cette corde en son milieu.



Hauteur du triangle $\mathrm{△OBA}$ $=$ rayon $⨯$ $\sin \left(\mathrm{\angle OBA}\right)$

$\frac{\mathrm{AB}}{2}$ ou demi largeur de base du triangle $\mathrm{△OBA}$ $=$ rayon $⨯$ $\cos \left(\mathrm{\angle OBA}\right)$

La mesure de l'angle $\mathrm{\angle OBA}$ se calcule comme étant égale à $180-\left(90+\frac{90}{2}\right)$ degrés. L'un des angles mesure $90$ degrés car la droite perpendiculaire entre le centre et la corde $\mathrm{AB}$ coupe également l'angle $\mathrm{\angle AOB}$.

La hauteur du triangle est $2\sin \left(180-\left(90+\frac{90}{2}\right)\right)=\sqrt{2}$.

La moitié de la largeur du triangle est $2\cos \left(180-\left(90+\frac{90}{2}\right)\right)=\sqrt{2}$.

Par conséquent, la largeur totale du triangle est $2⨯\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Calculons maintenant l'aire du triangle $\mathrm{△OBA}$, grâce à la formule : aire $=$ $\frac{1}{2}$ $⨯$ base $⨯$ hauteur.

Remplaçons les valeurs :

Aire du triangle $\mathrm{△OBA}$ $=$ $\frac{1}{2}⨯\left(2\sqrt{2}\right)⨯\sqrt{2}=2$

L'aire du secteur circulaire sous-tendu par l'angle mineur $\mathrm{\angle AOB}$ est $\frac{90}{360}⨯\left(\pi 2^2\right)=\pi$.

L'aire ombrée s'obtient en soustrayant l'aire du triangle $\mathrm{△OBA}$ de l'aire du secteur circulaire sous-tendu par l'angle mineur $\mathrm{\angle AOB}$.

Aire de la région ombrée $=$ $\pi -2=\mathrm{1,14}$ (arrondie au centième près)