Otimização de trajetória
Minimize sujeito a
.
Este exemplo monstra como um problema variacional pode ser discretizado para um problema de otimização finita resolvido de forma eficiente por métodos convexos, como QuadraticOptimization.
O problema variacional será aproximado discretizando o problema do valor limite e usando a regra trapezoidal para integrar em uma grade uniformemente espaçada no intervalo [0,1], com
.
Use a variável u[i] para representar e x[i] para representar
para
.
A restrição de equação diferencial é facilmente representada usando aproximações centradas de diferença de segunda ordem para de 1 a
.
No limite, as condições de derivação zero permitem o uso de pontos fictícios e
. Quando
e
, a fórmula de diferença de segunda ordem para o primeira derivada
é zero para
e
. Assim, no limite, use o seguinte.
A regra trapezoidal para é dada conforme abaixo.
Como a expressão da regra trapezoidal é quadrática e todas as restrições são restrições de igualdade linear, o mínimo da integral discretizada pode ser encontrado usando QuadraticOptimization diretamente.
Funções aproximadas são construídas com Interpolation.
Uma solução analítica exata, , é conhecida por este problema, por isso é possível representar o erro na discretização.
O erro assintótico é aproximadamente , então dobrando
para 200 e recalculando, o erro será cerca de 1/4 do que é mostrado aqui.
A solução analítica pode ser encontrada considerando uma família de curvas onde
é um parâmetro. Esta curva paramétrica satisfaz as condições de contorno prescritas
. Como
, pode-se encontrar um parâmetro ideal
que minimize
.
O valor ideal de está em 2, que é o resultado analítico
.