欧几里德的《元素》
《元素》是有史以来最古老、最有影响力的数学著作之一,共有十三册,由古希腊数学家亚历山大的欧几里德所著。《元素》中描述的结构可通过 Wolfram 语言中的 GeometricScene 来表示,并用 RandomInstance 可视化。
第一卷的命题 1 指出给定任何两点 和
,可以将
和
作为两个顶点,构建一个等边三角形。特别是,以
和
为圆心,绘制两个圆,它们的半径等于它们之间的距离。则它们的交点
即为等边三角形的第三个顶点。
第一卷的命题 22 对命题 1 进行了推广,指出任何满足 的正的
、
和
,存在一个边长为
、
和
的三角形。
随机选择正的 、
和
,使得
。
构建过程如下:构建一条依次穿过点 、
、
和
的直线,
和
之间的距离为
,
和
之间的距离为
,
和
之间的距离为
。绘制圆心位于
,穿过
的圆,以及圆心位于
,穿过
的圆。如果
是这些圆的交点之一,那么
到
的距离为
,
到
的距离为
,
到
的距离为
。因此点
、
和
形成这样的一个三角形。