Stellen Sie eine komplexe analytische Funktion auf

Stellen Sie eine komplexe analytische Funktion auf, angefangen mit den Werten ihrer rellen und imaginären Teile auf der -Achse.

Die reellen und imaginären Teile u und v genügen den Cauchy–Riemann-Gleichungen.

In[1]:=

creqns = {D[u[x, y], x] == D[v[x, y], y], D[v[x, y], x] == -D[u[x, y], y]};

Schreiben Sie die Werte von u und v auf der -Achse vor.

In[2]:=

xvals = {u[x, 0] == x^3, v[x, 0] == 0};

Lösen Sie die Cauchy–Riemann-Gleichungen.

In[3]:=

sol = DSolve[{creqns, xvals}, {u, v}, {x, y}]

Out[3]=

Vergewissern Sie sich, dass die Lösungen harmonische Funktionen sind.

In[4]:=

Laplacian[{u[x, y], v[x, y]} /. sol[[1]], {x, y}]

Out[4]=

Visualisieren Sie die von der Lösung erzeugten Stromlinien und Äquipotentiallinien.

In[5]:=

ContourPlot[{u[x, y], v[x, y]} /. sol[[1]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, ContourStyle -> {Red, Blue}]

Out[5]=

Stellen Sie auf Grundlage der Lösung eine komplexe analytische Funktion auf.

In[6]:=

f[x_, y_] = u[x, y] + I v[x, y] /. sol[[1]]

Out[6]=

Dies ist eine Darstellung der Funktion .

In[7]:=

(f[x, y] // Factor) /. {x + I y -> z}

Out[7]=