Distribución de Marchenko–Pastur
La distribución de Marchenko–Pastur es la distribución de límite de valores propios de matrices de Wishart como la matriz de dimensión y grados de libertad
, ambos tienden a infinito con relación
. Para
, la distribución no tiene masa puntual y la función de densidad de probabilidad está bien definida.
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PDF[MarchenkoPasturDistribution[1/2], x]
![](assets.es/marchenko-pastur-distribution/O_31.png)
![](assets.es/marchenko-pastur-distribution/O_32.png)
Tome una muestra de una distribución de Wishart con matriz de escala de identidad y calcule los valores propios escalados.
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n = 10^4;
m = 10^3;
eigs = RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]/n,
x \[Distributed]
WishartMatrixDistribution[n, IdentityMatrix[m]]]];
Compare el resultado muestreado con la función de densidad de Marchenko–Pastur.
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Show[Histogram[eigs, {0.05}, "PDF", ImageSize -> Medium,
PlotTheme -> "Detailed"],
Plot[PDF[MarchenkoPasturDistribution[m/n], x], {x, 0, 1.8},
PlotTheme -> "Detailed", PlotLegends -> None, Exclusions -> None]]
![](assets.es/marchenko-pastur-distribution/O_33.png)
Para , la matriz de Wishart es singular. Con probabilidad
, la distribución tiene una masa en el punto
.
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m = 500; n = 2 m;
CDF[MarchenkoPasturDistribution[n/m], 0]
![](assets.es/marchenko-pastur-distribution/O_34.png)
Genere una matriz singular de Wishart con covarianza de identidad y calcule los valores propios escalados.
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matrix = Transpose[#].# &[RandomVariate[NormalDistribution[], {m, n}]];
eigvs = Chop[Eigenvalues[matrix]/m];
Hay un vacío en la densidad de los valores propios cercanos a 0, y el contendedor 0 tiene una gran densidad.
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Histogram[eigvs, {0.05}, PDF, PlotRange -> 1, ChartStyle -> Orange,
ImageSize -> Medium]
![](assets.es/marchenko-pastur-distribution/O_35.png)
Ajuste MarchenkoPasturDistribution a los valores propios.
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edist = EstimatedDistribution[eigvs,
MarchenkoPasturDistribution[\[Lambda], 1]]
![](assets.es/marchenko-pastur-distribution/O_36.png)
La función de distribución de acumulación de la distribución ajustada muestra una discontinuidad de salto en el origen.
![](assets.es/marchenko-pastur-distribution/O_37.png)