Marchenko–Pastur-Verteilung
Die Marchenko–Pastur-Verteilung ist die Grenzverteilung von Eigenwerten von Wishart-Matritzen, wenn die Matrixdimension u Freiheitsgrade
im Verhältnis
gegen unendlich tendieren. Bei
hat die Verteilung keine Punktmasse und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist wohldefiniert.
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PDF[MarchenkoPasturDistribution[1/2], x]
![](assets.de/marchenko-pastur-distribution/O_31.png)
![](assets.de/marchenko-pastur-distribution/O_32.png)
Nehmen Sie eine Wishart-Verteilung mit einer skalierten Einheitsmatrix und berechnen Sie die skalierten Eigenwerte.
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n = 10^4;
m = 10^3;
eigs = RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]/n,
x \[Distributed]
WishartMatrixDistribution[n, IdentityMatrix[m]]]];
Berechnen Sie das Ergebnis mit der Marchenko–Pastur-Dichtefunktion.
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Show[Histogram[eigs, {0.05}, "PDF", ImageSize -> Medium,
PlotTheme -> "Detailed"],
Plot[PDF[MarchenkoPasturDistribution[m/n], x], {x, 0, 1.8},
PlotTheme -> "Detailed", PlotLegends -> None, Exclusions -> None]]
![](assets.de/marchenko-pastur-distribution/O_33.png)
Bei ist die Wishart-Matrix singulär. Mit der Wahrscheinlichkeit
hat die Verteilung eine Punktmasse bei
.
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m = 500; n = 2 m;
CDF[MarchenkoPasturDistribution[n/m], 0]
![](assets.de/marchenko-pastur-distribution/O_34.png)
Generieren Sie eine singuläre Wishart-Matrix mit Einheitskovarianz und berechnen Sie die skalierten Eigenwerte.
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matrix = Transpose[#].# &[RandomVariate[NormalDistribution[], {m, n}]];
eigvs = Chop[Eigenvalues[matrix]/m];
Es besteht eine Lücke in der Dichte der Eigenwerte nahe 0 und die Klasse bei 0 besitzt große Dichte.
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Histogram[eigvs, {0.05}, PDF, PlotRange -> 1, ChartStyle -> Orange,
ImageSize -> Medium]
![](assets.de/marchenko-pastur-distribution/O_35.png)
Passen Sie eine MarchenkoPasturDistribution an die Eigenwerte an.
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edist = EstimatedDistribution[eigvs,
MarchenkoPasturDistribution[\[Lambda], 1]]
![](assets.de/marchenko-pastur-distribution/O_36.png)
Die kumulative Verteilungsfunktion der angepassten Verteilung zeigt eine Sprungstelle am Ursprung.
![](assets.de/marchenko-pastur-distribution/O_37.png)