Wishart- und inverse Wishart-Verteilungen
Die Wishart-Verteilung ist die Verteilung der Kovarianzmatrix von Stichproben aus unabhängigen multinormalen Zufallsvektoren. Sie ist eine Verallgemeinerung der -Verteilung in mehreren Dimensionen. Die Verteilung kommt in multivariaten Statistiken wie der Regression, Kovarianz etc. vor.
Erzeugen Sie eine positiv definite Zufallsmatrix als Parameter für die Wishart-Verteilung.
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\[CapitalSigma] = DiagonalMatrix[RandomReal[10, 5]];
Matritzen der Wishart-Verteilung sind symmetrisch und positiv definit.»
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dist = WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]];
mat = RandomVariate[dist];
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SymmetricMatrixQ[mat] && PositiveDefiniteMatrixQ[mat]
![](assets.de/wishart-and-inverse-wishart-distributions/O_12.png)
Die inverse Wishart-Verteilung ist die Verteilung der Kehrmatritzen der Wishart-Verteilung.»
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invdist =
InverseWishartMatrixDistribution[30, Inverse[\[CapitalSigma]]];
invmat = RandomVariate[invdist];
Matritzen der inversen Wishart-Verteilung sind symmetrisch und positiv definit.
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SymmetricMatrixQ[invmat] && PositiveDefiniteMatrixQ[invmat]
![](assets.de/wishart-and-inverse-wishart-distributions/O_13.png)
Vergleichen Sie die Eigenwertverteilung für Matritzen der Wishart- und inversen Wishart-Verteilung.
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eigs = Flatten[
RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] dist],
10^4]];
inveigs =
Flatten[RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]^-1,
x \[Distributed] invdist], 10^4]];
![](assets.de/wishart-and-inverse-wishart-distributions/O_14.png)
Bei einem Vektor ungleich Null und einer Wishart-Matrix
mit Skalenmatrix
ist die Statistik
-verteilt.
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y = #/Sqrt[#.\[CapitalSigma].#] &[RandomReal[1, 5]];
data = RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[y.w.y,
w \[Distributed] WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]],
10^4];
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Show[Histogram[data, Automatic, PDF, PlotTheme -> "Detailed"],
Plot[PDF[ChiSquareDistribution[30], x], {x, 0, 80}],
ImageSize -> Medium]
![](assets.de/wishart-and-inverse-wishart-distributions/O_15.png)