Loi de Wishart et loi de Wishart inverse
La loi de Wishart est la loi de la matrice de covariance d'échantillons tirés de vecteurs aléatoires multinormaux indépendants. Il s'agit d'une généralisation de la distribution à plusieurs dimensions. Cette loi apparaît naturellement dans les statistiques multivariées telles que la régression, la covariance, etc.
Générez une matrice positive aléatoire définie à utiliser comme paramètres pour la loi de Wishart.
![Click for copyable input](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/In_24.png)
\[CapitalSigma] = DiagonalMatrix[RandomReal[10, 5]];
Les matrices de la loi de Wishart sont symétriques et définies positivement. »
![Click for copyable input](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/In_25.png)
dist = WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]];
mat = RandomVariate[dist];
![Click for copyable input](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/In_26.png)
SymmetricMatrixQ[mat] && PositiveDefiniteMatrixQ[mat]
![](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/O_12.png)
La loi inverse de Wishart est la distribution matricielle inverse de la loi de Wishart. »
![Click for copyable input](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/In_27.png)
invdist =
InverseWishartMatrixDistribution[30, Inverse[\[CapitalSigma]]];
invmat = RandomVariate[invdist];
Les matrices de la loi inverse de Wishart sont symétriques et définies positivement.
![Click for copyable input](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/In_28.png)
SymmetricMatrixQ[invmat] && PositiveDefiniteMatrixQ[invmat]
![](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/O_13.png)
Comparez la distribution des valeurs propres pour les matrices de la loi de Wishart et les lois de Wishart inverses.
![Click for copyable input](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/In_29.png)
eigs = Flatten[
RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] dist],
10^4]];
inveigs =
Flatten[RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]^-1,
x \[Distributed] invdist], 10^4]];
![](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/O_14.png)
Pour tout vecteur non nul et la matrice de Wishart
avec la matrice d'échelle
, la statistique
est distribuée en
.
![Click for copyable input](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/In_31.png)
y = #/Sqrt[#.\[CapitalSigma].#] &[RandomReal[1, 5]];
data = RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[y.w.y,
w \[Distributed] WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]],
10^4];
![Click for copyable input](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/In_32.png)
Show[Histogram[data, Automatic, PDF, PlotTheme -> "Detailed"],
Plot[PDF[ChiSquareDistribution[30], x], {x, 0, 80}],
ImageSize -> Medium]
![](assets.fr/wishart-and-inverse-wishart-distributions/O_15.png)