轨迹优化
最小化受 限制的
。
下面的例子演示了如何将变分问题离散化为可通过凸方法(例如 QuadraticOptimization)有效求解的有限优化问题。
通过离散边界值问题并使用梯形法则在区间 [0,1] 上的均匀间隔网格上积分来近似变分问题, ,
。
令变量 u[i] 表示 ,x[i] 表示
,
。
用中心二阶差分近似可以很容易地表示微分方程约束条件, 从 1 到
。
在边界处,零导数条件使得我们可以使用虚拟点 和
。当
和
时,一阶导数
的二阶差分公式为零(
和
的情况下)。因此,在边界处可以使用以下约束条件。
下面给出了 的梯形法则。
由于来自梯形规则的表达式是二次的,并且所有约束条件都是线性等式约束条件,因此可以使用 QuadraticOptimization 直接求得离散化积分的最小值。
用 Interpolation 构建近似函数。
对于此问题,已知有精确解析解 ,因此可绘制出离散化造成的误差。
渐近误差大约为 ,所以将
增大为 200 并重新计算,误差大约是此处显示的 1/4。
通过考虑一族曲线 可以找到解析解,其中
是一个参数。参数化曲线满足规定的边界条件
。由于
,我们可以找到一个最小化
的最佳参数
。
的最佳值为 2,即解析解
。