体积最大的长方体
求内接在凸多面体中的体积最大的轴平行立方体 。
这个例子演示了如何用 power-cone 约束条件来表示正的项的乘积的优化,可将约束条件与 ConicOptimization 一起使用以找到最优解。
考虑一个以随机点的凸包形式构建的随机凸多面体 。
对于长方体,找到一个下边角点 和边长向量
,从而可用 Wolfram 语言
来表示该长方体。长方体的体积为边长的乘积所以目标函数就是最大化
。如果长方体的所有边角都在
中,那么长方体中的所有点也是如此。可用
来描述边角,其中
位于
中所有可能的 n‐tuples 元素的集合
中。
问题变为:
因为 非负,最大化乘积
与最大化几何平均
(已知是凹的)是一样的。最大化
等价于最小化
(是凸的)。通过辅助变量
将问题重新用线性目标函数 -
表示,约束条件为
。
问题变为:
power cone 是 的集合,满足
,可用 Wolfram 语言
表示。
因为 ,对于非负的
,可满足新的约束条件
,且等价于
。可写作以下 power cone 约束条件:
如果 ,问题变为:
凸多面体可以表示为半空间 的交叉点。提取每个边的系数
。
求解问题。
显示体积最大的内接长方体。
除了多面体,取任何可用凸锥表示的集合 K⊆n,如一个椭球。当且仅当 时,长方体的顶点
才位于椭球中。
求解问题。
绘制结果。