Cubóide de volume máximo
Encontre o cubóide de eixo paralelo de volume máximo inscrito em um poliedro convexo .
Este exemplo monstra como a otimização de um produto de termos positivos pode ser expressa em termos de restrições de cone de energia que podem ser usadas com ConicOptimization para encontrar o melhor.
Considere um poliedro convexo aleatório construído como o casco convexo de pontos aleatórios.
Para o cubóide, encontre um ponto de canto inferior e um vetor de comprimento lateral
de modo que o cubóide seja representado na Wolfram Language por
. O volume do cubóide é apenas o produto dos comprimentos laterais, então o objetivo é maximizar
. Se todos os cantos do cubóide estão em
, então todos os pontos no cubóide também estão. Os cantos podem ser descritos por
, onde
está no conjunto
de todas as possíveis n‐tuplas de elementos de
.
O problema se torna:
Como não é negativo, maximizando o produto de
é o mesmo que maximizar a média geométrica de
, que é côncavo. Maximizar
é equivalente a minimizar
, que é convexo. Usando uma variável auxiliar
, reformule o problema com uma função objetiva linear -
com as restrições adicionais
.
O problema se torna:
O cone convexo é o conjunto de de modo que
, e pode ser expresso na Wolfram Language por
.
Como , a nova restrição
pode ser satisfeita para
não-negativo e é equivalente a
. Isso pode ser escrito como uma série de restrições do cone convexo.
Para o problema se torna:
Um poliedro convexo pode ser representado como interseções de meio-espaços . Extraia os coeficientes
para cada lado.
Resolva o problema.
Mostre o cubóide com o máximo volume inscrito.
Em vez de um poliedro, pegue qualquer conjunto representável cônico convexo K⊆n—por exemplo, um elipsóide. Um vértice do cubóide está dentro do elipsóide se
.
Resolva o problema.
Faça uma ilustração do resultado.