Analysieren Sie einen Gittergraphen mit der Smith-Zerlegung
Untersuchen Sie den Gittergraphen , der von den ganzzahligen Vielfachen der Vektoren
und
generiert wird.
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b1 = {3, -3};
b2 = {2, 1};
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ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
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graphicsb =
Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]
![](assets.de/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_81.png)
sei die Matrix mit den Zeilen
und
.
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m = {b1, b2};
Durch die Smith-Zerlegung ergeben sich drei Matritzen, die der Identität genügen.
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{u, r, v} = SmithDecomposition[m];
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u.m.v == r
![](assets.de/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_82.png)
Die Matritzen und
haben ganzzahlige Einträge und eine Determinante gleich eins.
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{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}
![](assets.de/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_83.png)
Die Matrix ist ganzzahlig und diagonal. Aus den Matrixeinträgen ist ersichtlich, dass
oder einfach
die Struktur der Gruppe
ist, da
die triviale Gruppe ist.
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r // MatrixForm
![](assets.de/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_84.png)
Multipliziert man die Identität auf der rechten Seite mal
, ergibt sich
. Da
ganzzahlige Einträge und die Determinante
hat, generiert
dieselbe Gittergraphik wie
, jedoch in einfacherer Ausführung.
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g = r.Inverse[v];
g // MatrixForm
![](assets.de/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_85.png)
Visualisieren Sie die Gittergraphik, die durch die Zeilen von generiert wurde.
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ptsg = Flatten[
Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
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graphicsg =
Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]
![](assets.de/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_86.png)
Wenn Sie die neue Gittergraphik über das ursprüngliche Gitter legen, können Sie feststellen, dass die beiden gleich sind.
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Show[{graphicsb, graphicsg}]
![](assets.de/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_87.png)