Utilisez la décomposition de Smith pour analyser un réseau
Considérez le réseau généré par des multiples entiers des vecteurs
et
.
In[1]:=
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b1 = {3, -3};
b2 = {2, 1};
In[2]:=
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ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
In[3]:=
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graphicsb =
Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]
Out[3]=
![](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_81.png)
Soit la matrice dont les rangées sont
et
.
In[4]:=
![Click for copyable input](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/In_94.png)
m = {b1, b2};
Les trois matrices de Smith donnent la décomposition qui satisfont l'identité .
In[5]:=
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{u, r, v} = SmithDecomposition[m];
In[6]:=
![Click for copyable input](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/In_96.png)
u.m.v == r
Out[6]=
![](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_82.png)
Les matrices et
ont des entrées de nombre entier et un facteur déterminant.
In[7]:=
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{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}
Out[7]=
![](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_83.png)
La matrice est entière et diagonale. De ses entrées, on peut voir que la structure du groupe
est
ou simplement
, comme
est le groupe trivial.
In[8]:=
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r // MatrixForm
Out[8]//MatrixForm=
![](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_84.png)
Le fait de multiplier l'identité à droite par
donne
. Le fait que
est entier et déterminant
,
génère le même réseau que
mais est plus simple.
In[9]:=
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g = r.Inverse[v];
g // MatrixForm
Out[9]//MatrixForm=
![](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_85.png)
Visualisez le réseau engendré par les rangées de .
In[10]:=
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ptsg = Flatten[
Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
In[11]:=
![Click for copyable input](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/In_101.png)
graphicsg =
Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]
Out[11]=
![](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_86.png)
Avec la superposition du nouveau réseau sur l'original, on peut voir qu'ils sont identiques.
In[12]:=
![Click for copyable input](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/In_102.png)
Show[{graphicsb, graphicsg}]
Out[12]=
![](assets.en/use-the-smith-decomposition-to-analyze-a-lattice/O_87.png)