Решение задачи о таутохроне
Задача о таутохроне требует нахождения определённой кривой. Если разместить бусину в любой точке данной кривой, то она упадёт на дно за одинаковый отрезок времени. Если выразить общее время падения через длину арки кривой, а скорость через v, то получим интегральное уравнение Абеля . Если выразить неизвестную функцию
через отношение
и использовать уравнение сохранения энергии
, то получим следующее уравнение.
![Click for copyable input](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/In_107.png)
abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\),
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);
Решить интегральное уравнение с помощью функции DSolveValue.
![Click for copyable input](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/In_108.png)
dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]
![](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/O_56.png)
Используя отношение , найти решение для
.
![Click for copyable input](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/In_109.png)
dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]
![](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/O_57.png)
Начиная от края кривой, интегрировать как функцию
. Предположения обеспечивают вещественность подынтегрального уравнения.
![Click for copyable input](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/In_110.png)
x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y},
Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]
![](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/O_58.png)
Если использовать время ската две секунды и заменить им значение гравитационного ускорения, то можно графически oтобразить максимальную кривую таухотрона ( представляет результат решения
для переменной
.).
![Click for copyable input](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/In_111.png)
Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]
![](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/O_59.png)
Изменив переменные , получить простую несингулярную параметризацию кривой с
.
![Click for copyable input](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/In_112.png)
c[\[Theta]_] = (
g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;
Объединение уравнения сохранения энергии и цепного правила приводит к следующему дифференциальному уравнению для
как функции
, которое может быть решено численно.
![Click for copyable input](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/In_113.png)
\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]
![](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/O_60.png)
Визуализировать движение по таухотрону.
![](assets.ru/solve-the-tautochrone-problem/swf_2.png)