Berechnen Sie das Problem der Linie des schnellsten Falles
Beim Problem der Linie des schnellsten Falles geht es darum, die Kurve zu finden, bei der man von jedem Punkt aus die gleiche Zeit benötigt, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Wenn Sie die Gesamtfallzeit durch die Bogenlänge der Kurve und die Geschwindigkeit v ausdrücken, ergibt sich die Abelsche Integralgleichung . Aus der Definition der unbekannten Funktion
durch die Beziehung
und der Verwendung des Energieerhaltungssatzes
ergibt sich die folgende explizite Gleichung:
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abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\),
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);
Lösen Sie mit DSolveValue die Integralgleichung.
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dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]
![](assets.de/solve-the-tautochrone-problem/O_56.png)
Nutzen Sie den Zusammenhang , um nach
zu lösen.
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dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]
![](assets.de/solve-the-tautochrone-problem/O_57.png)
Wenn Sie den Ursprung als Anfangspunkt der Kurve wählen und anschließend integrieren, kann als eine Funktion von
ausgedrückt werden. Nehmen Sie für den Integranden reelle Werte an.
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x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y},
Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]
![](assets.de/solve-the-tautochrone-problem/O_58.png)
Nehmen Sie eine Fallzeit von zwei Sekunden, bestimmen Sie einen Wert der Schwerebeschleunigung und plotten Sie die maximale Bahn der Tautochrone. (Der Zweig kommt von der Lösung
für die Ableitung von
.)
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Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]
![](assets.de/solve-the-tautochrone-problem/O_59.png)
Die Variablenänderung ergibt eine einfache, nichtsinguläre Parametrisierung der Kurve mit
.
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c[\[Theta]_] = (
g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;
Durch die Kombination des Energieerhaltungssatzes und der Kettenregel entsteht die nachstehende Differentialgleichung für
als eine Funktion von
, die numerisch gelöst werden kann.
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\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]
![](assets.de/solve-the-tautochrone-problem/O_60.png)
Visualisieren Sie die Bewegung entlang der Tautochrone.
![](assets.de/solve-the-tautochrone-problem/swf_2.png)