Evaluieren Sie eine Ableitung mittels Grenzwertdefinion
Mit Differenzenquotienten berechnen Sie nicht nur die erste Ableitung, sondern auch Ableitungen höherer Ordnung auf direkte Weise. Behandeln Sie zuerst die Funktion g und ihren zugehörigen Differenzenquotienten.
In[1]:=
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g[x_] := x^2 Exp[x]
In[2]:=
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dq1[x_] = DifferenceQuotient[g[x], {x, h}]
Out[2]=
![](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/O_26.png)
Berechnet man den Grenzwert des Differenzenquotients, ergibt sich die erste Ableitung.
In[3]:=
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Limit[dq1[x], h -> 0]
Out[3]=
![](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/O_27.png)
In[4]:=
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Limit[dq1[x], h -> 0];
Simplify[% == g'[x]]
Out[4]=
![](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/O_28.png)
Die zweite Ableitung kann direkt durch den zweiten Differenzenquotienten angenähert werden, ohne je auf die erste Ableitung Bezug nehmen zu müssen.
In[5]:=
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dq2[x_] = DifferenceQuotient[g[x], {x, 2, h}]
Out[5]=
![](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/O_29.png)
Wenn ist der Grenzwert die zweite Ableitung.
In[6]:=
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Limit[dq2[x], h -> 0]
Out[6]=
![](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/O_30.png)
In[7]:=
![Click for copyable input](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/In_34.png)
Limit[dq2[x], h -> 0];
Simplify[% == g''[x]]
Out[7]=
![](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/O_31.png)
Der Differenzenquotient der ersten Ableitung ist eine andere Funktion des Differenzenquotients zweiter Ordnung von g, ihr Grenzwert ist jedoch auch die zweite Ableitung.
In[8]:=
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dqp[x_] = DifferenceQuotient[g'[x], {x, h}]
Out[8]=
![](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/O_32.png)
In[9]:=
![Click for copyable input](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/In_36.png)
Limit[dqp[x], h -> 0]
Out[9]=
![](assets.de/evaluate-a-derivative-using-first-principles/O_33.png)