最小包囲楕円体
次元において
個の点の集合
が与えられたとき,すべての点を囲む最小体積楕円体であるLöwner-John楕円体を求める.
この例題では,高非線形の凸目的関数および制約条件で表される問題の場合,NMinimizeを使うと凸最適化で簡単に解ける問題に変換できることを示す.
の楕円体は,
である点集合
によって記述することができる.このとき
は
の半正定値行列,
は
ベクトルである.楕円体の体積は
に比例する.
は凸であり,以下の解を見付ける.
ここで示す例題は,可視化ができるように三次元のランダムな点集合で行われた.解のアルゴリズムはより大きい次元 を扱うことができる.
NMinimizeを使って解を求める.
三次元では,楕円体はEllipsoidグラフィックスプリミティブで記述することができる.
BoundingRegionは包囲する楕円体をより速く求めることができるが,その楕円体の体積は大きくなる.