Беспорядочное вращение
CircularRealMatrixDistribution представляет равномерное распределение ортогональных квадратных матриц с размером массива , также известное как мера Хаара на ортогональной группе
. Матрицы, сгенерированные согласно данному распределению, могут выступать в роли операторов вращения для векторов в
-мерном векторном пространстве.
Определите распределение случайных векторов, полученных путём вращения фиксированного трёхмерного вектора (0,0,1) случайной матрицей из CircularRealMatrixDistribution размера массива 3.
![Click for copyable input](assets.ru/random-rotations/In_101.png)
\[ScriptCapitalD] =
MatrixPropertyDistribution[r.{0, 0, 1},
r \[Distributed] CircularRealMatrixDistribution[3]];
Используйте данное распределение для отбора точек на поверхности единичной сферы.
![Click for copyable input](assets.ru/random-rotations/In_102.png)
points = RandomVariate[\[ScriptCapitalD], 10^3];
Проверьте, принадлежат ли все отобранные точки единичной сфере.
![Click for copyable input](assets.ru/random-rotations/In_103.png)
AllTrue[points, RegionMember[Sphere[3]]]
![](assets.ru/random-rotations/O_50.png)
Графически изобразите отобранные точки с исходным вектором.
![](assets.ru/random-rotations/O_51.png)
Параметр площади поверхности сферы задан в цилиндрических координатах через .
![Click for copyable input](assets.ru/random-rotations/In_105.png)
{x, y, z} = Transpose[points];
\[Phi] = ArcTan[y/x];
Проверьте, являются ли маргинальные распределения и
равномерными.
![Click for copyable input](assets.ru/random-rotations/In_106.png)
Histogram[#, 20, PDF] & /@ {\[Phi], z}
![](assets.ru/random-rotations/O_52.png)
Убедитесь, равномерно ли распределены отобранные точки на поверхности сферы, проверив равномерность совместного распределения и
.
![](assets.ru/random-rotations/O_53.png)
Проверьте гипотезу о том, что совместное распределение и
является равномерным.
![Click for copyable input](assets.ru/random-rotations/In_108.png)
DistributionFitTest[Transpose[{\[Phi], z}],
UniformDistribution[{{-Pi/2, Pi/2}, {-1, 1}}], "TestConclusion"]
![](assets.ru/random-rotations/O_54.png)