Распределение Марченко-Пастура
Распределение Марченко-Пастура является допредельным распределением собственных значений матриц Уишарта, где матричное измерение и степени свободы
стремятся к бесконечности в отношении
. Для
распределение не имеет точечной массы, а функция плотности вероятности чётко определена.
![Click for copyable input](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/In_70.png)
PDF[MarchenkoPasturDistribution[1/2], x]
![](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/O_31.png)
![](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/O_32.png)
Попробуйте распределение Уишарта с идентичной нормированной матрицей и рассчитайте нормированные собственные значения.
![Click for copyable input](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/In_72.png)
n = 10^4;
m = 10^3;
eigs = RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]/n,
x \[Distributed]
WishartMatrixDistribution[n, IdentityMatrix[m]]]];
Сравните полученный результат с функцией плотности Марченко-Пастура.
![Click for copyable input](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/In_73.png)
Show[Histogram[eigs, {0.05}, "PDF", ImageSize -> Medium,
PlotTheme -> "Detailed"],
Plot[PDF[MarchenkoPasturDistribution[m/n], x], {x, 0, 1.8},
PlotTheme -> "Detailed", PlotLegends -> None, Exclusions -> None]]
![](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/O_33.png)
Для матрица Уишарта является особенной. С вероятностью
распределение имеет точечную массу при
.
![Click for copyable input](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/In_74.png)
m = 500; n = 2 m;
CDF[MarchenkoPasturDistribution[n/m], 0]
![](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/O_34.png)
Сгенерируйте особенную матрицу Уишарта с тождественным ковариантом и рассчитайте нормированные собственные значения.
![Click for copyable input](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/In_75.png)
matrix = Transpose[#].# &[RandomVariate[NormalDistribution[], {m, n}]];
eigvs = Chop[Eigenvalues[matrix]/m];
Существует пробел в плотности собственных значений в области 0, и столбик 0 гистограммы имеет большую плотность.
![Click for copyable input](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/In_76.png)
Histogram[eigvs, {0.05}, PDF, PlotRange -> 1, ChartStyle -> Orange,
ImageSize -> Medium]
![](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/O_35.png)
Приблизьте MarchenkoPasturDistribution к собственным значениям.
![Click for copyable input](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/In_77.png)
edist = EstimatedDistribution[eigvs,
MarchenkoPasturDistribution[\[Lambda], 1]]
![](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/O_36.png)
Функция подобранного распределения демонстрирует простой разрыв в начале координат.
![](assets.ru/marchenko-pastur-distribution/O_37.png)