Круговые ансамбли (КОА, КУА,...)
Круговые ансамбли - это семейства унитарных матриц с неизменными распределениями при различных унитарных трансформациях. Их обычно применяют в статистической механике, теории чисел, комбинаторике и ядерной физике.
Матрицы из кругового действительного ансамбля (КДА) являются ортогональными. »
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_1.png)
cre = RandomVariate[CircularRealMatrixDistribution[5]];
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_2.png)
OrthogonalMatrixQ[cre]
![](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/O_1.png)
Матрицы из кругового унитарного ансамбля (КУА) являются унитарными. »
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_3.png)
cue = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[5]];
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_4.png)
UnitaryMatrixQ[cue]
![](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/O_2.png)
Матрицы из кругового ортогонального ансамбля (КОА) являются симметричными и унитарными. »
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_5.png)
coe = RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[5]];
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_6.png)
SymmetricMatrixQ[coe] && UnitaryMatrixQ[coe]
![](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/O_3.png)
Матрицы из кругового симплектического ансамбля (КСА) являются автодуальными унитарными кватернионными. »
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_8.png)
cse = RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[5]];
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_9.png)
UnitaryMatrixQ[cse] && selfdualQuaternionicQ[cse]
![](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/O_4.png)
Матрицы из кругового кватернионного ансамбля (ККА) являются симплектическими унитарными. »
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_11.png)
cqe = RandomVariate[CircularQuaternionMatrixDistribution[5]];
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_12.png)
UnitaryMatrixQ[cqe] && symplecticMatrixQ[cqe]
![](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/O_5.png)
Собственные значения матриц из КУА, КОА и КСА имеют равные единицы длины и равномерно распределены по фазе.
![](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/O_6.png)
Визуализируйте совместное распределение фазы собственных значений из двухмерного КУА и сравните его с фактической плотностью.
![Click for copyable input](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/In_14.png)
evs\[ScriptCapitalD] =
MatrixPropertyDistribution[Arg[Eigenvalues[x]],
x \[Distributed] CircularUnitaryMatrixDistribution[2]];
\[CurlyPhi]s =
RandomSample /@ RandomVariate[evs\[ScriptCapitalD], 10^5];
![](assets.ru/circular-ensembles-coe-cue-/O_7.png)