Спектральная плотность матрицы
Совместная спектральная плотность многих матричных распределений имеет соответствующую универсальную предельную форму. Для эрмитовых случайных матриц с независимыми элементами эта форма определяется полукруговым законом Вигнера.
Для гауссовых ансамблей, нормированная спектральная плотность матриц имеет закрытую форму измерения конечных матриц, относящyюся к собственным функциям квантового гармонического осциллятора.
Используйте MatrixPropertyDistribution для представления нормированного спектра гауссова унитарного ансамбля и представьте выражение закрытого вида для его совместной спектральной плотности.
![Click for copyable input](assets.ru/spectral-density-of-a-matrix/In_64.png)
scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][n_] :=
MatrixPropertyDistribution[
Eigenvalues[\[Lambda]]/(2 Sqrt[n]), \[Lambda] \[Distributed]
GaussianUnitaryMatrixDistribution[n]];
![Click for copyable input](assets.ru/spectral-density-of-a-matrix/In_65.png)
spectralPDF[n_Integer, \[Lambda]_] :=
Sqrt[2/(\[Pi] n)] Exp[-2 n \[Lambda]^2] \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 0\), \(n - 1\)]
\*FractionBox[
SuperscriptBox[\(HermiteH[j,
\*SqrtBox[\(2\ n\)]\ \[Lambda]]\), \(2\)], \(
\*SuperscriptBox[\(2\), \(j\)]\ \(j!\)\)]\)
Для маленького матричного измерения существует характерный шаблон осциллятора, чьё число максимумa плотности равно размеру матрицы.
![Click for copyable input](assets.ru/spectral-density-of-a-matrix/In_66.png)
scaledSpectra =
Flatten[RandomVariate[scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][#],
10^5]] & /@ {3, 4, 5};
![](assets.ru/spectral-density-of-a-matrix/O_29.png)
В пределах большого измерения плотность стремится к WignerSemicircleDistribution.
![Click for copyable input](assets.ru/spectral-density-of-a-matrix/In_68.png)
n = 250;
scaledSpectrum =
Flatten[RandomVariate[scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][n], 10^2]];
![](assets.ru/spectral-density-of-a-matrix/O_30.png)