Distribuição de Tracy–Widom
A distribuição de Tracy-Widom é uma distribuição limite do maior valor próprio escalado de uma matriz aleatória pertencente a conjuntos de Gauss. Também aparece em várias disciplinas diferentes, tais como problemas de contagem, modelos de crescimento aleatórios, transições de fase, etc., e dá previsões precisas.
A distribuição de Tracy–Widom consiste em três classes ,
, and
. Cada uma corresponde a um conjunto de Gauss diferente; veja a função densidade de probabilidade correspondente.
![](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/O_38.png)
Use MatrixPropertyDistribution para representar o maior valor próprio escalado de uma matriz de GUE.
![Click for copyable input](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/In_80.png)
ev\[ScriptCapitalD][2, n_] :=
MatrixPropertyDistribution[(Max[Eigenvalues[x]] - 2 Sqrt[n]) n^(1/6),
x \[Distributed] GaussianUnitaryMatrixDistribution[n]]
Faça uma amostra da distribuição e calcule o histograma com a função densidade de probabilidade.
![Click for copyable input](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/In_81.png)
sample = RandomVariate[ev\[ScriptCapitalD][2, 250], 2000];
![](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/O_39.png)
A distribuição Tracy–Widom pode ser bem aproximada pela distribuição gamma na região central.
![Click for copyable input](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/In_83.png)
gdist = GammaDistribution[k, s, 1, a];
PDF[gdist, x]
![](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/O_40.png)
Ajuste a distribuição gamma com a distribuição Tracy–Widom de concordando com os primeiros três momentos.
![Click for copyable input](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/In_84.png)
moments = Through[{Mean, Variance, Skewness}[gdist]];
nmoments =
N[Through[{Mean, Variance, Skewness}[TracyWidomDistribution[1]]]];
sol = FindRoot[Thread[moments == nmoments], {{k, 1}, {s, 1}, {a, 1}}]
![](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/O_41.png)
Compare as funções densidade de probabilidade.
![](assets.pt-br/tracy-widom-distribution/O_42.png)