Свойства матричных распределений
Статистика меньшей размерности, полученная из случайных матриц играет значимую роль в характеристике матричных ансамблей. В различных ограничивающих ситуациях распределения данных статистик распадаются на различные классы универсальностей. MatrixPropertyDistribution обеспечивает удобный доступ для выборки и расчёта численного приблизительного значения этих полученных свойств.
Отберите два самых больших собственных значения из гауссова унитарного ансамбля.
![Click for copyable input](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/In_44.png)
dist = MatrixPropertyDistribution[With[{spectrum = Eigenvalues[x]},
{Max[spectrum], RankedMax[spectrum, 2]}],
x \[Distributed] GaussianUnitaryMatrixDistribution[50]];
![Click for copyable input](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/In_45.png)
RandomVariate[dist]
![](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/O_22.png)
Визуализируйте совместное распределение двух самых больших собственных значений, основанных на результате выборки.
![Click for copyable input](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/In_46.png)
sample = RandomVariate[dist, 10^4];
![](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/O_23.png)
Отберите определитель матриц из гауссова ортогонального ансамбля и сравните эмпирическое распределение с выражением в замкнутой форме.
![Click for copyable input](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/In_48.png)
dist = MatrixPropertyDistribution[Det[x],
x \[Distributed] GaussianOrthogonalMatrixDistribution[2]];
dets = RandomVariate[dist, 10^6];
![](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/O_24.png)
Приблизительно определите среднее значение определителя с помощью выборки по методу Монте-Карло и сравните его с действительным значением.
![Click for copyable input](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/In_50.png)
{N@Mean[dist], Integrate[x detpdf[x], {x, -Infinity, Infinity}]}
![](assets.ru/properties-of-matrix-distributions/O_25.png)