Интервалы между собственными значениями в гауссовых распределениях
Интервалы между собственными значениями (разница между последовательными собственными значениями) матричных распределений имеют универсальную ограничивающую форму, которую можно найти во многих системах в природе, таких как расстояние между энергетическими уровнями атомов тяжёлых металлов.
Отберите интервалы между собственными значениями 2×2 матриц различных гауссовых ансамблей.
In[1]:=
![Click for copyable input](assets.ru/eigenvalue-spacings-of-gaussian-distributions/In_51.png)
gaussiandists = {GaussianOrthogonalMatrixDistribution[2],
GaussianUnitaryMatrixDistribution[2],
GaussianSymplecticMatrixDistribution[2]};
In[2]:=
![Click for copyable input](assets.ru/eigenvalue-spacings-of-gaussian-distributions/In_52.png)
spacingdists =
MatrixPropertyDistribution[{-1, 1}.MinMax[Eigenvalues[x]],
x \[Distributed] #] & /@ gaussiandists;
In[3]:=
![Click for copyable input](assets.ru/eigenvalue-spacings-of-gaussian-distributions/In_53.png)
gaps = Normalize[RandomVariate[#, 10000], Mean] & /@ spacingdists;
Сравните гистограммы для каждого распределения с его замкнутой формой, также известной как предположение Вигнера для индексов Дайсона от
,
и
.
In[4]:=
![Click for copyable input](assets.ru/eigenvalue-spacings-of-gaussian-distributions/In_54.png)
WignerSurmisePDF[x_, \[Beta] : 1] := Pi (x/2) Exp[-Pi (x/2)^2]
WignerSurmisePDF[x_, \[Beta] : 2] := 2 (4 x/Pi)^2 Exp[(-4/Pi) x^2]
WignerSurmisePDF[
x_, \[Beta] : 4] := (64/(9 Pi))^3 x^4 Exp[(-64/(9 Pi)) x^2]
код на языке Wolfram Language целиком
Out[5]=
![](assets.ru/eigenvalue-spacings-of-gaussian-distributions/O_26.png)