Resolva o problema tautocrônico
O problema tautocrônico requer encontrar a curva onde um objeto colocado em qualquer ponto de partida deslizará até seu ponto mínimo gastando o mesmo tempo. Expressando o tempo total de queda em termos do comprimento do arco da curva e a velocidade obtemos a equação integral de Abel
. Definindo a função desconhecida
pela relação
e usando a equação de conservação de energia
obtemos a seguinte equação explícita.
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abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\),
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);
Use DSolveValue para resolver a equação integral.
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dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]
![](assets.pt-br/solve-the-tautochrone-problem/O_56.png)
Usando a relação , resolva
.
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dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]
![](assets.pt-br/solve-the-tautochrone-problem/O_57.png)
Iniciando a curva da origem e integrando obtemos como a função de
. Note que as suposições asseguram que o integrando tenha um valor real.
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x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y},
Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]
![](assets.pt-br/solve-the-tautochrone-problem/O_58.png)
Usando um tempo de descida de dois segundos e substituindo no valor da aceleração gravitacional, faça um gráfico da curva máxima para a tautocrônica. (A parte vem da solução
para a derivada de
.)
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Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]
![](assets.pt-br/solve-the-tautochrone-problem/O_59.png)
Mudando as variáveis dá uma parametrização simples, não singular da curva
.
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c[\[Theta]_] = (
g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;
Combinando a equação de conservação de energia e a regra de cadeia resulta a seguinte equação diferencial para
como uma função de
, que pode ser resolvida numéricamente.
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\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]
![](assets.pt-br/solve-the-tautochrone-problem/O_60.png)
Visualize o movimento ao longo da tautocrônica.
![](assets.pt-br/solve-the-tautochrone-problem/swf_2.png)