Wishart 和逆 Wishart 分布

Wishart 分布是从独立多维正态随机向量中所抽取样本的协方差矩阵的分布. 它是 分布的多维推广. 该分布在诸如回归、协方差等多元统计中自然出现.

生成一个随机正定矩阵，用作 Wishart 分布的参数.

In[1]:=

\[CapitalSigma] = DiagonalMatrix[RandomReal[10, 5]];

由 Wishart 分布得到的矩阵是对称正定矩阵. »

In[2]:=

dist = WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]; mat = RandomVariate[dist];

In[3]:=

SymmetricMatrixQ[mat] && PositiveDefiniteMatrixQ[mat]

Out[3]=

逆 Wishart 分布是由 Wishart 分布得到的逆矩阵的分布. »

In[4]:=

invdist = InverseWishartMatrixDistribution[30, Inverse[\[CapitalSigma]]]; invmat = RandomVariate[invdist];

由逆 Wishart 分布得到的矩阵是对称正定矩阵.

In[5]:=

SymmetricMatrixQ[invmat] && PositiveDefiniteMatrixQ[invmat]

Out[5]=

比较由 Wishart 和逆 Wishart 分布得到的矩阵的特征值分布.

In[6]:=

eigs = Flatten[ RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] dist], 10^4]]; inveigs = Flatten[RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]^-1, x \[Distributed] invdist], 10^4]];

In[7]:=

SmoothHistogram[{eigs, inveigs}, PlotLegends -> {"Wishart", "Inverse Wishart"}, Filling -> Axis, ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Scientific"]

Out[7]=

对于任何非零向量 和尺度矩阵为 的 Wishart 矩阵 ，统计量 为 分布.

In[8]:=

y = #/Sqrt[#.\[CapitalSigma].#] &[RandomReal[1, 5]]; data = RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[y.w.y, w \[Distributed] WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]], 10^4];

In[9]:=

Show[Histogram[data, Automatic, PDF, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[ChiSquareDistribution[30], x], {x, 0, 80}], ImageSize -> Medium]

Out[9]=